Em uma mesma prateleira de uma estante há 10 livros distintos, sendo cinco de Álgebra, três de Geometria e dois de Trigonometria.

a) De quantos modos podemos arrumar esses livros nessa prateleira, se desejamos que os livros de um mesmo assunto permaneçam juntos?


b) De quantos modos distintos podemos arrumar esses livros nessa prateleira de modo que nas extremidades apareçam livros de Álgebra e os livros de Trigonometria fiquem juntos?



Resolução:

Item A:
Podemos dividir os 10 livros em três grupos: Álgebra, Geometria e Trigonometria.

Álgebra: são cinco opções: __ __ __ __ __

Geometria: são 3 opções: __ __ __

Trigonometria: são 2 opções: __ __

Ao todo, temos 10 livros:
L1, L2, L3, L4, L5, L6, L7, L8, L9, L10
___  ___  ___  ___  ___  ___  ___  ___  ___  ___

Porém, como queremos que os livros de um mesmo assunto estejam juntos.
É o método TUDO JUNTO.

A1, A2, A3, A4, A5         G1, G2, G3        T1, T2

__  __   ___  ___  ___      ___  ___  ___      ___  ___

Para a 1ª lacuna, temos 5 opções de ágebra.
Para a 2ª lacuna, temos 4 opções.
Para a 3ª temos 3 opções,
para a 4ª temos 2 opções e
para a 5ª temos 1 opção.

Assim, fica: 5.4.3.2.1 = 120 opções.


A 6º lacuna é para Geometria. Temos 3 opções.
Para a 7ª lacuna temos 2 opções e para a 8ª temos 1 opção.

Fica: 3.2.1 = 6 opções.


A 9ª lacuna é para o livro de Trigonometria. São 2 opções.
Para a 10ª lacuna temos 1 opção.

Fica: 2.1 = 2 opções.

Assim, temos em cada grupo



    120                 6                    2
________    ________     _________
 grupo 1        grupo 2          grupo 3
Álgebra      Geometria   Trigonometria

Isso veio de:

       5!         .     3!         .         2!
________    ________     _________
 grupo 1        grupo 2          grupo 3
Álgebra      Geometria   Trigonometria


Ao multiplicarmos as opções, temos: 120 . 6 . 2 = 1440 opções.


No entanto, temos 1440 opções para a os grupos na ordem Álgebra, Geometria e Trigonometria.

Mas, há mais 1440 opções na ordem Álgebra, Trigonometria e Geometria.

e mais 1440 opções para cada ordem.

Quantas ordens podemos fazer entre os 3 assuntos?

________              ______            ______
 3 opções              2 opções          1 opção
de assunto          de assunto       de assunto

Ao todo temos 3.2.1 = 6 opções de assuntos.

Se cada opção tem 1440, logo, 1440 x 6 = 8.640 modos.

R: 8640 modos.

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Ou ainda:
Quero dividir em 3 opções:  3! = 3.2.1 = 6

cada opção é subdividida em 5, 3 e 2:    5! x 3! x 2!   =  120 x 6 x 2

Temos 6 x 120 x 6 x 2 = 8.640.

R: 8640 modos.

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Item B:

De quantos modos distintos podemos arrumar esses livros nessa prateleira de modo que nas extremidades apareçam livros de Álgebra e os livros de Trigonometria fiquem juntos?

Nas extremidades devem ficar os livros de Álgebra

___  ___  ___  ___  ___  ___  ___  ___  ___  ___
 5                                                                       4

Para a 1ª lacuna teremos 5 opções para Álgebra e para a última lacuna serão 4, já que colocamos 1 livro na primeira lacuna.


Os livros de Trigonometria devem ficar juntos. É a regra do TUDO JUNTO.
Juntando as lacunas de Trigonometria, que são 2 opções, temos


___  ______  ___  ___  ___  ___  ___  ___  ___
 5         trig                                                             4

Sendo que para aquela lacuna, temos 2 opções.

___  ______  ___  ___  ___  ___  ___  ___  ___
 5         2                                                           4

Usamos 1 na primeira lacuna, 1 na segunda lacuna e 1 na última lacuna, ou seja, 3 livros.
Como são 10, ainda faltam 7. Então, na terceira lacuna teremos 7 opções.

___  ______  ___  ___  ___  ___  ___  ___  ___
 5         2          7      6      5      4     3       2      4

Multiplicando as opções acima, temos 201.600 

R: São 201.600 modos.