E0512 - (UFPR, 2012) Um grupo de cientistas decidiu utilizar o seguinte modelo logístico, bastante conhecido por matemáticos e biólogos, para estimar o número de pássaros, P(t), de determinada espécie numa área de proteção ambiental:


sendo t o tempo em anos e t = 0 o momento em que o estudo foi iniciado.

a) Em quanto tempo a população chegará a 400 indivíduos?

b) À medida que o tempo t aumenta, o número de pássaros dessa espécie se aproxima de qual valor? Justifique sua resposta.



Uma solução:

400 indivíduos é a quantidade total, ou seja P(t). Substituindo,
400 = 500 / 1+22-t
Multiplicando cruzado, temos:
500 = 400 (1+ 22-t)
Jogando o 400 para o outro membro, temos:
500/400 = 1+ 22-t
Dividindo 500 por 400,
5/4 = 1 + 22-t

Passando o 1 para o outro membro,

5/4 - 1  = 22-t

1/4  = 22-t

1/4 é o mesmo que 4-1.

4-1  = 22-t

4 pode ser escrito como 22.

(22)-1  = 22-t

Potência de potência.

2-2  = 22-t

Bases iguais, de acordo com o conhecimento em equação exponencial, pode ser “cortado”.

-2 = 2-t
-2-2 = -t
-4 = -t (-1)

t = 4

R: O tempo é 4.

Resolvendo a questão B

Quanto maior for o valor de t, menor ficará a expressão 22-t, chegando a zero.
Sendo a expressão zero, temos

P(t) = 500 / 1 + 0

P(t) = 500 / 1

P(t) = 500


Logo, se aproxima de 500 pássaros.