Como transformar dízimas periódicas em fração?

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Vimos como calcular a geratriz (transformação de número decimal para fração) de um decimal finito. 
Se você não viu, clique aqui para ver.


Agora, é hora de vermos como transformar uma dízima periódica em fração.

Lembrando que dízima periódica é o número decimal infinito que tem 1 ou mais algarismos que se repetem.

Exemplo de dízimas:

0,333333....

1,2222...

0,45454545...


Para calcular a geratriz, precisamos dividir as dízimas em dois grupos:

i) dízimas periódicas simples

ii) dízimas periódicas compostas



i) DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES

Tem apenas algarismos repetidos à direita da vírgula chamados de período.

Exemplos: 
0,333333...
0,666666...
2,444...
0,15151515...

ii) DÍZIMAS PERIÓDICAS COMPOSTAS

Além dos algarismos que se repetem, tem um número diferente que se chama ante-período.

Exemplos:

0,233333...
0,1522222...
2,466666...


Agora que sabemos que a diferença entre dízima simples e dizima composta, vamos ver como transformá-la em fração.


i. DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES

Para um dízima simples, veja quantos algarismos tem o período (repetição).

Se tiver 1 algarismo, coloque um 9 no denominador

Se tiver 2 algarismos, coloque dois 9 no denominador

Se tiver 3 algarismos, coloque três 9 no denominador

e assim por diante.


Exemplos:

a) 0,333... 
repete o 3, que tem 1 algarismo. Logo, o denominador tem um nove.

fração obtida: 3/9


b) 0,252525...
repete o 25, que tem 2 algarismos. Logo, o denominador tem dois noves.

fração obtida: 25/99


c) 0,123123...
repete o 123, que tem 3 algarismos. Logo, o denominador tem três noves. 

fração obtida: 123/999


*Atenção: pode haver um algarismo que não está no período à esquerda da vírgula.

Exemplo:

1,333...
Esta dízima também é simples, pois o número diferente está à esquerda da vírgula.
Diferente do 0,1333... em que o 1 está a direita da vírgula. Neste caso, é dízima composta.


d) 1,333...

Podemos separar esse número em 1 inteiro e 0,3333...  (1+0,333...)

Logo, repetimos o número inteiro e fazemos a geratriz do 0,333... , que é 3/9

Fica 1 + 3/9.

Pode representar como número misto (1 3/9) ou pela soma 

1 + 3/9 tirando MMC, fica 12/9.


ii. DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTA

0,036666...

1º) Divida o número por zero, ou seja, desloque a vírgula uma casa para a esquerda.

0,03666....  : 10 = 0,003666...


2º) Subtraia o 1º pelo segundo:
0,03666...
0,00366...
0,03300...

3º) O resto (resultado da subtração) será o denominador sem a vírgula.
No caso de 0,03300... fica 0,033, que sem a vírgula fica 33.


4º) O denominador terá 9 e 0.
A questão é saber quantos 9 e quantos 0.

Observe:

0,0366666...

Quantidade de 9:  é a quantidade de algarismos do período.
Neste caso, o período é 6, que tem 1 algarismo. Logo, usaremos um 9.

Quantidade de 0: é q quantidade de algarismos do ante-período.
O ante-período é 03, que tem 2 algarismos. Então, usaremos dois 0.

Assim, temos como denominador termos um 9 e dois 0, ou seja, 900.

Como o numerador é 33, temos a fração 33/900



Vamos ver alguns exemplos:

a) 0,27777...

dividindo por 10, fica 0,02777... (deslocando a vírgula uma casa)

Subtraindo um pelo outro:

0,27777...
0,02777...
0,25000...

0,25000... sem as vírgulas fica 25. Esse é o numerador.


O denominador:
Período 7, que tem 1 algarismo. Usaremos um 9.

Ante-período 2, que tem 1 algarismo. Usaremos um 0.

Logo, o denominador com um 9 e um 0 será 90.

Como o numerador é 25, temos a fração 25/90

Confira: 25/90 dá 0,277777...




b) 0,2534343434...

O ante-projeto é 25, ou seja, tem 2 algarismos. Então, não vamos dividir por 10, mas por 100.
(perceba que se dividisse por 10 não conseguiria zerar o período)

Dividindo por 100, temos 0,002534343434...

Subtraindo um pelo outro:
0,2534343434...
0,00253434343...
0,25090000000...

Tirando a vírgula, fica 0250900000, que é o mesmo que 2509.

Esse é o numerador.


Denominador:

0,253434... tem 2 algarismos no período, então, teremos dois 9.
Tem 2 algarismos no ante-período, então, teremos dois 0.

Dois 9 e dois 0 fica 9900. Esse é o denominador.


Temos:

numerador: 2509
denominador: 9900

Fração obtida: 2509/9900




Atenção:

Há outra forma para definir o numerador:

0,03666

Pegue o número depois da vírgula: 036666....

corte os repetidos:

036

corte o algarismo do período:

03

diminua um pelo outro:

036 - 03 = 33.

O numerador é 33.