E0145 - De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem juntas?


Resolução:

De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem juntas?

Normalmente, teríamos 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320 maneiras.

Porém, temos Vera e Paulo, que não podem ficar juntos.

Neste caso, vamos calcular com Vera e Paulo juntos.

A B C D E F V P

Como eles devem ficar juntos, vamos juntar as opções:

A B C D E F VP

Vamos, também, juntar as lacunas:


_ _ _ _ _ _ ___
7.6.5.4.3.2. 1  = 5.040 maneiras.

Porém, temos 5040 maneiras com Vera e Paulo e 5040 maneiras com Paulo e Vera, ou seja, temps 5040 x 2 = 1080 maneiras.

Ou forma para fazer o cálculo sem as lacunas, 

quando temos elementos juntos em qualquer ordem, diminuímos 1 e multiplicamos por 2.

2 (n-1)! = 2 (8-1)! = 2 (7)! = 2 . 5040 = 10.080 maneiras.


Bom, sabemos que o total de maneiras é 40.320 e que destes, 10.080 Vera e Paulo ficam juntos. Mas, o exercício pede que NÃO sentem juntos.

Logo, 40.320 - 10.080 = 30.240 maneiras.

R: Em 30.240 maneiras Vera e Paulo não sentam juntos