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Resolução:
a) De quantos modos o número 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos? Aqui consideramos, naturalmente, 8 x 90 como sendo o mesmo que 90 x 8.
Fatorando o 720, temos: 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5, que pode ser representado como 24 x 32 x 51
Para calcular a quantidade de divisores, basta pegar os expoentes e somar com 1. Depois, multiplique-os.
(Caso queira lembrar, clique aqui)
Os expoentes são: 4, 2 e 1.
Somando com 1, temos:
5, 3 e 2.
Multiplicando-os, fica:
5 . 3 . 2 = 30
O número 720 tem 30 divisores.
Mas, não é isso que pede o enunciado.
Ele quer saber quantos produtos podem ser formados com esses divisores.
Se são 30 divisores, teremos apenas 15 produtos, pois da metade em diante, os produtos serão repetidos em ordem diferentes.
Observe:
1 x 720 , 2 x 360 , 3 x 240 , 4 x 180 , 5 x 144
6 x 120 , 8 x 90 , 9 x 80 , 10 x 72 , 12 x 60
15 x 48 , 16 x 45 , 18 x 40 , 20 x 36 , 24 x 30
Esses são os produtos distintos. Daí para frente, começam a se repetir:
30 x 24 , 36 x 20 , 40 x 18 e assim por diante.
R: 15 produtos diferentes.
b) E o número 144?
O número 144 tem 15 divisores.
Mas, o que o enunciado pede é a quantidade de produtos.
Neste caso, sendo a quantidade de divisores um número ímpar, não podemos ter 7,5 produtos.
Assim, chegamos 8 produtos diferentes, que são eles:
1 x 144 , 2 x 72 , 3 x 48 , 4 x 36 , 6 x 24 , 8 x 18 , 9 x 16 , 12 x 12.
R: 8 produtos.
