De quantos modos podemos colocar 8 torres iguais em um tabuleiro 8 x 8, de modo que não haja duas torres iguais em um tabuleiro 8 x 8 na mesma linha ou na mesma coluna?

E se as torres fossem diferentes?


____________________________________________________________________________








____________________________________________________________________________


Resolução:

Torres iguais:

Na 1ª linha, temos 8 opções para colocar 1 torre.

Ao colocar a torre na 1ª linha, sobram 7 linhas para a 2ª torre, que não pode ser na mesma linha que a 1ª torre.

Na 3ª linha, temos 6 linhas possíveis para colocar outra torre e assim sucessivamente.

Veja como fica:

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 maneiras, sendo as torres iguais.




Torres diferentes.

Quando as torres eram iguais, não precisava se preocupar qual torre ficaria na 1ª linha, ou 2ª e assim por diante.

Agora, sendo as torres diferentes, teremos os 40.320 para as torres 1,2,3,4,5,6,7 e 8 respectivamente.

Mas, temos mais 40.320 maneiras para as torres 1,2,3,4,5,6, 8 e 7.

Mais 40.320 para as torres 1,2,3,4,5,7,8, e 6.

Perceba que teremos 8! formas diferentes, ou seja, teremos 40.320 formas diferentes.

Assim, temos 40.320 x 40.320 maneiras = 1.625.702.400 maneiras.