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Resolução:
De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casas não-adjacentes de um tabuleiro 8x8?
A posição do 2.º Rei depende da posição do 1.º Rei.
Vamos observar o que acontece quando o 1.º Rei desloca-se na linha A:
O 1º Rei ficando na coluna 1, o 2º Rei perde 4 casas, ficando com apenas 60 casas (64 - 4).
O mesmo vai acontecer quando o 1.º Rei ficar na casa A8.
Assim, temos 2 x 60 = 120 casas.
Mas, na mesma linha A, se o 1.º Rei ficar na 2.ª coluna, o 2.º rei perde 6 casas, podendo ficar em apenas 58 casas.
O mesmo vai acontecer com o 1.º Rei ficando em A3, A4, A5, A6 e A7.
Assim, temos 6 x 58 = 348 casas.
Temos, então, na linha A 120 + 348 = 468 casas.
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Passando para a 2.ª linha (B), estando o Rei na 1.ª Coluna, o 2.º Rei perderá 6 casas, ficando com 58.
O mesmo acontece quando o 1.º Rei ficar na casa B8.
Assim, temos 2 x 58 = 116 casas.
Na 2.ª coluna, o 2.º rei perde 9 casas, ficando com apenas 55 casas.
O mesmo acontece quando o 1.º Rei ficar nas casas B3, B4, B5, B6 e B7.
Assim, temos 6 x 55 casas = 330 casas.
Temos, então, na linha B 116 + 330 = 446 casas.
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Analogamente, teremos 446 casas nas linhas C, D, E, F e G.
446 x 5 = 2.230 casas.
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Na linha H, teremos o mesmo que o ocorrido na linha A, ou seja, 468 casas.
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Somando todas as linhas, temos:
468 + 446 + 446 + 446 + 446 + 446 + 446 + 468 = 3612 maneiras.
E se os reis forem iguais?
Se os reis forem iguais, dividimos por 2, ficando 3612 : 2 = 1806 maneiras.
Observe:
R1 na 1ª casa, R2 na 3ª casa.
R2 na 1ª casa, R1 na 3ª casa.
São maneiras diferentes!
Se os reis forem iguais, teremos:
R na 1ª casa, R na 3ª casa.
R na 1ª casa, R na 3ª casa.
Observe que, se forem iguais, as duas formas serão as mesmas. Por isso, a cada 2 maneiras, só vai valer 1. Assim, dividimos por 2.
